Exercício: Massa de um fio por Integral de Linha

Questão: Encontre a massa de um fio cujo formato é aquele da curva interseção da esfera $x^2 + y^2+z^2 = 1$ com o plano $x + y + z = 0$, se a densidade no ponto $(x, y, z)$ do fio é $\rho (x,y,z) = x^{2}$.

Solução

Encontremos a interseção da esfera com o plano. Basta substituir $z = -x -y$ na equação da esfera. O resultado será $2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1$.
O resultado, como você deve imaginar, é uma elipse, porém, esta se encontra rotacionada.

Vamos fazer uma rotação de $\frac{\pi}{4}$ no sistema de coordenadas usando a matriz de rotação:
\begin{equation}
M_{\theta} =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \operatorname{sen} \theta \\
- \operatorname{sen} \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\end{equation}
Logo, nossa matriz será:
\begin{equation}
M_{\frac{\pi}{4}} =
\begin{bmatrix}
\cos \frac{\pi}{4} & \operatorname{sen} \frac{\pi}{4} \\
- \operatorname{sen} \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
- \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}
\end{equation}
 Multiplicando a matriz de rotação pelo vetor coluna $\begin{bmatrix}
x \\
y \end{bmatrix}$, obtemos as novas coordenadas $(u, v)$ como sendo:
\begin{equation}
 \begin{matrix}
u = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y\\\\
v = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y
\end{matrix}
\end{equation}
 Isolando $x$ e $y$, obtemos:
\begin{equation}
 \begin{matrix}
x = \frac{\sqrt{2}}{2}u - \frac{\sqrt{2}}{2}v\\\\
y = \frac{\sqrt{2}}{2}u + \frac{\sqrt{2}}{2}v
\end{matrix}
\end{equation}
Nossa elipse então passa a ser:

$3u^2 + v^2 = 1$

Ou simplesmente,

$\displaystyle \frac{u^2}{\left ( 1/\sqrt{3} \right )^{2}} + v^2 = 1$

Vamos prosseguir com o cálculo da integral de linha. Vamos parametrizar a elipse como sendo
$u = \frac{\cos t}{\sqrt{3}}$ e $v = \text{sen} t$, com $0 \leq x \leq 2\pi$.

Vamos chamar $a = \sqrt{2}/2$ para ajudar na visualização e nos cálculos.

Com a parametrização, chegamos a:
$\displaystyle x = \frac{a \cos t}{\sqrt{3}}$ , $y = a \text{sen}t$ e $\displaystyle z = \frac{-2a \cos t}{\sqrt{3}}$

Se você fizer o cálculo do $\displaystyle ds = \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dz}{dt} \right )^{2}} dt$, você obterá $ds = dt$. Verifique, é muito legal!

Finalmente, a massa do fio é dada pela integral $\displaystyle \int_{\gamma }\rho(x,y,z)ds$. Substituindo os resultados que encontramos, obtemos a integral:
\begin{equation}
m = \int_{0}^{2\pi}\left ( \frac{a^{2}\cos^{2}t}{3} - \frac{2a^{2}\sin t\cos t}{\sqrt{3}} + a^{2} \text{sen}^{2}t\right )dt \end{equation}
Cujo resultado é $\displaystyle m = \frac{4\pi a^{2}}{3}$.
Sendo $a = \sqrt{2}/2$, temos que a massa do fio é:
$$\displaystyle \boxed{m = \frac{2\pi}{3}}$$

Formidável!!
Essa questão foi retirada da lista de Integrais de Linha do professor Marivaldo Matos, da UFPB, a qual você pode encontrar no site dele clicando aqui.
Obrigado, professor!

Att, $Renan$.